Bilangan Triple Pythagoras

Masih ingat dengan teorema Pythagoras. “Jika ∆ABC merupakan segitiga siku-siku di A maka berlaku : a² = b² + c². Hal ini berarti kebalikan dari teorema Pythagoras adalah “Jika pada segitiga ABC berlaku a² = b² + c² maka segitiga ini adalah segitiga siku-siku di A”.

Teorema Pythagoras ini juga dapat digunakan untuk memeriksa apakah suatu segitiga itu merupakan segitiga siku-siku atau bukan, bila diketahui panjang ketiga sisinya.

Masalah 3 dan 4 di atas adalah contoh penerapan teorema Pythagoras. Untuk menyelesaikan masalah 3, maka Pak Hasbar harus menentukan satu tiang yang diumpamakan sebagai titik sudut siku-siku, kemudian mengambil tali sebagai alat bantu dengan ukuran tertentu. Tiga bilangan yang mewakili ukuran-ukuran yang dapat membentuk segitiga siku-siku seperti pada masalah 3 dan 4 di atas dikenal dengan nama tigaan Pythagoras atau tripel Pythagoras. Sebaliknya, jika tiga buah bilangan yang merupakan sisi-sisi suatu segitiga merupakan Triple Pythagoras maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Jadi, jika tiga buah bilangan a, b dan c merupakan sisi-sisi suatu segitiga, dengan sisi terpanjangnya a dan berlaku : a² = b² + c² maka segitiga ini disebut segitiga siku-siku, dengan sudut siku di depan sisi terpanjangnya. Tiga bilangan yang demikian disebut Tigaan Pythagoras atau Triple Pythagoras.

Bilangan Tripel Pythagoras

Jika a, b dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga sikusiku dengan a, b dan c bilangan asli, maka a, b, c disebut bilangan Tripel Pythagoras

Contoh :

Dari kelompok-kelompok tiga bilangan berikut manakah kelompok bilangan yang merupakan Triple Pythagoras ?

a. 5, 12 dan 13                        b. 5, 7 dan 9

Penyelesaian :

a.      Untuk bilangan-bilangan 5, 12, dan 13 dapat dipandang sisi terpanjang pada segitiga adalah 13.

Apakah     13² = 5² + 12²

                   169 = 25 + 144

Ternyata    169 = 169 (kalimat benar)

Jadi, bilangan 5, 12 dan 13 merupakan Triple Pythagoras.

b.      Untuk bilangan 5, 7, dan 9 dapat dipandang bahwa sisi terpanjang pada segitiga adalah 9.

Apakah     9² = 5² + 7²

                   81 = 25 + 49

Ternyata    81 = 74 (kalimat salah)

Jadi, bilangan 5, 7 dan 9 bukan merupakan Triple Pythagoras.

Selanjutnya, untuk memeriksa jenis suatu segitiga jika ternyata kuadrat sisi terpanjang segitiga tidak sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lainnya, mari kita perhatikan penjelasan berikut.

Gambar 5.11 merupakan segitiga tumpul yang sisi terpanjangnya a, dan kedua sisi lainnya b dan c. Bila pada segitiga ini dibuat garis bantu berupa garis putus-putus yang tegak lurus maka akan tampak sebagai segitiga siku-siku, dan menurut teorema Pythagoras berlaku :

a² = (x + b)² + d²

Karena

c² = d² + x²

maka diperoleh :

a²   = (x + b)² + d²

a²   = x² + 2xb + b² + d²

a²   = b² + (x² + d²) + 2xb

a²   = b² + c² + 2xb

Hal ini berarti : a² > b² + c²

Dari uraian ini, pada segitiga yang sisi terpanjangnya a dan kedua sisi lainnya b dan c berlaku a² > b² + c². Ternyata, segitiga ini merupakan segitiga tumpul. Dengan sudut tumpul di depan sisi terpanjangnya.

Jadi, untuk tiga buah bilangan a, b dan c yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga, dengan sisi terpanjangnya a dan berlaku a² > b² + c², maka segitiga ini adalah segitiga tumpul dengan sudut tumpul di depan sisi terpanjangnya.

Contoh :

Bila tiga bilangan berikut merupakan sisi-sisi segitiga, tentukan mana yang merupakan segitiga tumpul :

a. 4, 9 dan 7                b. 6, 7 dan 8

Penyelesaian :

a.      Untuk bilangan 4, 9, dan 7 dapat berarti sisi terpanjangnya 9.

Sehingga    9² >  4² + 7²

                   81 >  16 + 49

                   81 > 65 (kalimat benar)

b.      Untuk bilangan 6, 7, dan 8 berarti sisi terpanjangnya  8.

Sehingga       8² >  6² + 7²

                   64 > 36 + 49

                   64 >  85 (kalimat salah)

Jadi bilangan 6, 7 dan 8 tidak membentuk segitiga tumpul dan juga tidak membentuk segitiga siku-siku.

Dari jawaban contoh soal b, timbul pertanyaan termasuk segitiga apakah yang demikian itu ? Untuk menjawabnya, perhatikan penjelasan berikut !

        

Gambar 5.12 merupakan segitiga lancip yang sisi terpanjangnya a, dan kedua sisi lainnya b dan c. Jika pada segitiga ini dibuat garis bantu titik-titik maka akan tampak dua buah segitiga siku-siku, menurut Pythagoras berlaku :

a² = (b - x)² + d²

Karena c² = x² + d², maka diperoleh :

a²   = (b – x)² + d²

a²   = b² – 2bx + x² + d²

a²   = b² + c² – 2bx, Hal ini berarti : a² <  b² + c²

Dari uraian ini, segitiga yang sisi terpanjangnya a dan kedua sisi lainnya b dan c berlaku a² < b² + c², ternyata segitiga ini merupakan segitiga lancip.

Jadi, untuk tiga buah bilangan a, b, dan c merupakan sisi-sisi suatu segitiga, dengan sisi terpanjangnya a dan berlaku : a² < b² + c² maka segitiga ini merupakan segitiga lancip.

Contoh :

Tiga buah bilangan berikut menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga. Tentukan tiga bilangan mana yang merupakan sisi-sisi suatu segitiga lancip !

a.   8, 6 dan 4                                              b. 4, 5 dan 6

Penyelesaian :

a.      Untuk bilangan 8, 6, dan 4 berarti sisi terpanjangnya 8.

Apakah            8² <  6² + 4²

                         64 <  36 + 16

Ternyata,         64 < 52 (kalimat salah)

b.      Untuk bilangan 4, 5, dan 6 berarti sisi terpanjangnya  6.

Sehingga       6² <  5² + 6²

                      36 < 25 + 16

Ternyata,      36 <  41 (kalimat benar)

Jadi, bilangan 4, 5 dan 6 merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga lancip.